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1 Construir geometria de un datum en GEOGEBRA
Para El siguiente Trabajo Utilizaremos el software Geogebra. Este software nos sirve para realizar construcciones geométricas a partir de ordenes intuitivas.
El link para el software está en la sección de software del campus.
Los comandos para ralizar construcciones se ingresan por el campo de "Entrada". Comienze por hacer alguna prueba, por ejemplo ingrese Punto({0,0,0}) o pruebe los comandos de Recta, Vector, Ángulo, etc para familiarizarse con la interfaz.
Para realizar este tutorial utilizaremos la Vista 3d (Bajo el Menu Vista)
Construiremos un datum de referencia y uno auxiliar y veremos qué es lo que cambia al representar un punto en uno u otro datum.
Nuestro sistema Absoluto es el cartesiano canónico, con origen en {0,0,0} y una terna de ejes X, Y, Z.
Las ordenes que deben ejecutarse en Geogebra se Representan en un cuadro con fuente monosepaciada
Como este ejemplo.
1.1 Construcción geométrica
Inicialmente Definimos nuestra Tierra de "Referenia", centrada en el origen y representada como un elipsoide exageradamente achatado. Hallaremos sobre ella la latitud y longitud de un punto que esté en su Superficie.
Tierra: 0.5 x^2+ 0.5 y^2 + z^2 = 1
Ponemos Un punto que nos servira de referencia. Nótese que se puede mover el punto como querramos con el mouse.
A: PuntoEn(Tierra)
Creamos el plano del meridiano del lugar. Definiendolo como el plano que pasa por el punto y contiene al eje Z.
Meridiano: Plano(A, EjeZ)
Construimos la Curva que representa al meridiano sobre la superficie intersecando el plano y la tierra.
CurvaMeridiano: IntersecaRecorridos(Tierra, Meridiano)
Para hallar La latitud debemos hallar la perpendicular al elipsoide, la construimos en dos pasos, primero hallamos la tangente sobre el plano meridiano y después la perpendicular
Tan0: Tangente(A,CurvaMeridiano) Per0: Perpendicular(A, Tan0, Meridiano)
Finalmente, Hallamos la latitud y la longitud:
O: Punto({0,0,0})
Es importante Remarcar que La latitud se mide con respecto al Plano del ecuador (Plano(EjeX,EjeY)), la longitud se mide sobre la proyección del punto en el plano del ecuador (representada como (x(A), y(A), 0) en este caso, por conicidir dicho plano con el plano XY)
Lat: Ángulo(Per0,Plano(EjeX,EjeY)) * sgn(z(A)) Lon: Ángulo(Vector(O, (x(A), y(A), 0)), VectorUnitario(EjeX)) * sgn(y(A))
Es indispensable el agregado de los signos porque los ángulos entre vectores siempre se miden como "el menor de los dos posibles".
Pasaremos a construir ahora un nuevo datum, que podríamos interpretar como un sistema local materializado de alguna manera.
Definimos la terna de referencia, el origen esta desplazado pero no hay rotación.
O1: Punto({0.2, 0.2, 0.2})
X1: Recta(O1, EjeX)
Y1: Recta(O1, EjeY)
Z1: Recta(O1, EjeZ)
Definimos nuestro nuevo elipsoide de referencia, con medidas distintas.
Datum1: 0.6(x - x(O1))^2 + 0.6(y - y(O1))^2 + (z - z(O1))^2 = 1
Ahora Creamos las mismas construcciones auxiliares que en el caso anterior.
Ecuador1: Plano(X1, Y1) Meridiano1: Plano(A, Z1) CurvaMeridiano1: IntersecaRecorridos(Meridiano1, Datum1)
Para tomar la latitud y longitud primero debemos hallar el punto que corresponde a A sobre Datum1, que es su proyección perpendicular y la hallamos con la función PuntoMásCercano.
A1: PuntoMásCercano(CurvaMeridiano1, A)
Ahora si hallamos la Tangente y la perpendicular igual que en el caso Anterior.
T1: Tangente(A1, CurvaMeridiano1) P1: Perpendicular(A, T1, Meridiano1)
Auxiliarmente necesitamos la proyeccion sobre el eje Z1, para 1- saber el signo de la latitud 2- Proyectar el vector A al plano X1,Y1 para poder hallar la longitud. Esto lo logro con el producto Interno.
PrAZ1: Vector(O1, A) * VectorUnitario(Z1)
Lat1: Ángulo(P1,Ecuador1) * sgn(PrAZ1)
La proyeccion sobre el plano X1 Z1 es A - Z1(unitario) * PrAZ1
PrAX1Y1: Vector(O1,A) - (VectorUnitario(Z1) * PrAZ1)
Y para tener el signo de la longitud necesitamos la proyeccion de este sobre el eje Y1
PrAY1: PrAX1Y1 * VectorUnitario(Y1)
Finalmente, hallamos la longitud.
Lon1: Ángulo( PrAX1Y1, VectorUnitario(X1)) * sgn(y(A-O1))
1.2 Agregar la vista 2d para visualizar el resultado cartográfico.
Hasta aqui hemos construido nuestra geometria tridimensional, podemos hacer las pruebas que querramos modificando el punto O1 , moviendo A y cambiandole los parámetros al elipsoide del Datum1.
Lo que a nosotros nos afecta principalmente es el efecto que esto tiene al trasladarnos a las 2 Dimensiones de un mapa. Nos queda para esto adoptar un sistema de representación en R2.
Lo mas gráfico y sencillo en este caso, para no agregar cuentas que oscurezcan el desarrollo, es utilizar x=longitud e y=latitud como sistema de representación, y observar el efecto sobre el plano.
Aplano: Punto({Lon,Lat})
A1plano: Punto({Lon1,Lat1})
Si mantenemos ahora prendida la vista 2d junto con la 3d, podremos ver como varian las coordenadas en ambos datum en la vista 2d al mover el punto sobre la vista 3d. Lo mas importante para notar es que la relacion entre ellos no se mantiene igual a lo largo de todo el espacio.
Consejos: En la Interface de Geogebra puede ir apagando todos los objetos que le resulten molestos en la vista, nóte que algunas lineas y planos son auxiliares, y es mejor apagarlas una vez que se entendió su función.
1.3 Ejercicio Extra.
Experimente como puede generar un datum rotado utilizando la funcion Rota( <Objeto>, <Ángulo> ) a la hora de crear la terna de ejes X1, Y1, Z1. Compruebe los efectos de esto sobre la construcción.